Ο Τριγωνομετρικός κύκλος

Μια από τις σημαντικότερες κατασκευές στην Τριγωνομετρία είναι αυτή του Τριγωνομετρικού Κύκλου. Η κατανόησή του βοηθά σημαντικά στην εκμάθηση των τριγωνομετρικών τύπων. Ο παρακάτω σύνδεσμος σας μεταφέρει στο Geogebra Tube όπου μπορείτε να παίξετε με ένα διαδραστικό αρχείο και να καταλάβετε την χρήση του.

https://ggbm.at/rn2v6y8z

https://ggbm.at/rn2v6y8z

Διαβάστε Περισσότερα!

Μελέτη Τριγωνομετρικών Συναρτήσεων

Στα Παρακάτω links μπορείτε να βρείτε διαδραστικές εικόνες για την κατασκευή των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Κάνοντας κλικ θα οδηγηθείτε στο Geogebra Tube όπου μπορείτε να μετακινήσετε σημεία και να δείτε την κατασκευή.

Συνάρτηση Ημίτονο
https://ggbm.at/pvc2bdya

Συνάρτηση Συνημίτονο
https://ggbm.at/dvmwnjms

Συνάρτηση Εφαπτομένη
https://ggbm.at/hjtptu3v

Διαβάστε Περισσότερα!

Β΄Λυκείου. Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις - Κατασκευή και Βασικές Ιδιότητες

Στους παρακάτω συνδέσμους μπορείτε να βρείτε αρχεία παρουσιάσεων σε Geogebra σχετικά με την κατασκευή και τις βασικές ιδιότητες των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Καλό θα είναι να τις δουλέψετε όποτε βρείτε το χρόνο για να εξοικειωθείτε.

1. Κατασκευή Ημιτόνου

2. Κατασκευή Συνημιτόνου

3. Κατασκευή Εφαπτομένης

1. Η συνάρτηση ημ(α x)

2. Η συνάρτηση ημ(x+α)

3. Η συνάρτηση α ημ(x)

Bonus: Η συνάρτηση που φαίνεται στην εικόνα ονομάζεται συνάρτηση δειγματοληψίας (sinc function) και έχει σημαντικές εφαρμογές στη θεωρία της επεξεργασίας σήματος. Ο τύπος της δίνεται από τη σχέση 

f(x) = sin(x)/x.

Διαβάστε Περισσότερα!

Γεωμετρία Β΄ Λυκείου - Διερεύνηση του Νόμου Συνημιτόνων

Ο νόμος συνημιτόνων  (Law of Cosines) είναι ένας από τους σημαντικότερους νόμους της τριγωνομετρίας. Συνδέει τις τρεις πλευρές του τριγώνου με κάθε μια από τις γωνίες του.

Σημαντικές Εφαρμογές

• Αν γνωρίζουμε τις τρεις πλευρές ενός τριγώνου, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε όλες τις γωνίες του (και τα ύψη του τριγώνου).
• Αν γνωρίζουμε δύο πλευρές και την περιεχόμενη γωνία ενός τριγώνου, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε όλες τις άλλες γωνίες και την τρίτη πλευρά.

Στα παρακάτω αρχεία μπορείτε να διερευνήσετε το νόμο αυτό χρησιμοποιώντας το λογισμικό Geogebra.

Διερεύνηση

Διαβάστε Περισσότερα!

Γ΄ Λυκείου: Μαθηματικά Κατεύθυνσης - Φυλλάδιο Ορίων

Στον παρακάτω σύνδεσμο μπορείτε να βρείτε το νέο πακέτο σημειώσεων για το κεφάλαιο των Ορίων.

Οι σημειώσεις περιλαμβάνουν σύντομη επισκόπηση της θεωρίας, μεθοδολογία υπολογισμού ορίων και αρκετές άλυτες ασκήσεις.

Όρια

Επιπλέον, στους παρακάτω συνδέσμους θα βρείτε τα animations των ορίων που είδαμε στην τάξη.

anim1
anim2
anim3
anim4
anim5
anim6
anim7
anim8
anim9
anim10
κριτήριο Παρεμβολής

Διαβάστε Περισσότερα!

Project Β΄ Λυκείου (Ο μαγικός κόσμος των Fractals) - Κατασκευή του τριγώνου Sierpinski

Ως πρώτη εργασία είχατε την κατασκευή του τριγώνου Sierpisnki, χρησιμοποιώντας το δημοφιλές λογισμικό Geogebra. 

Εδώ θα βρείτε το τρίγωνο Sierpinski που σας έδειξα στην τάξη. Ελπίζω να σας βοηθήσει να φτιάξετε τα δικά σας τρίγωνα σωστά.


Προσοχή!  Όταν ξεκινήσετε την κατασκευή του δικού σας τριγώνου (με τη βοήθεια των εργαλείων που είπαμε) θα πρέπει να απενεργοποιήσετε την  αυτόματη ετικετοποίηση των αντικειμένων. Αν δεν το κάνετε αυτό όλα τα σημεία που θα φτιάξετε θα έχουν ετικέτες και θα "πνίξουν" το σχήμα σας. Η απενεργοποίηση της αυτόματης ετικετοποίησης γίνεται με από το μενού επιλογές (δείτε την εικόνα παρακάτω). 

 

Διαβάστε Περισσότερα!

Ορισμένο Ολοκλήρωμα - Κατανόηση του Ορισμού με το Geogebra

Σε αυτό το σύνδεσμο μπορείτε να βρείτε ένα δυναμικό φύλλο εργασίας βασισμένο στο δημοφιλές λογισμικό Geogebra, το οποίο παρουσιάζει τον ορισμό της έννοιας του ορισμένου ολοκληρώματος μέσω της μεθόδου της εξάντλησης που περιέχει το σχολικό εγχειρίδιο. 

Μεταβάλλοντας το πλήθος των παραλληλογράμμων (n) μέσω του δρομέα, μπορείτε να δείτε το το όριο του αθροίσματος των εμβαδών των ορθογωνίων που σχηματίζονται.

Η παρουσίαση περιέχει τρία είδη ορθογωνίων (μπορείτε να τα ενεργοποιήσετε ή να τα απενεργοποιήσετε μέσω των check boxes που βρίσκονται δεξιά).
Α) Upper Area. Αναφέρεται στα ορθογώνια που ορίζονται με ύψος την τιμή της συνάρτησης στο δεξιό άκρο του κάθε διαστήματος.
Β) Lower Area. Αναφέρεται στα ορθογώνια που ορίζονται με ύψος την τιμή της συνάρτησης στο αριστερό άκρο του κάθε διαστήματος.
Γ) Intermediate Area. Αναφέρεται στα ορθογώνια που ορίζονται με ύψος την τιμή της συνάρτησης στο μέσο του κάθε διαστήματος.

Επιπλέον, μπορείτε να αλλάξετε τη συνάρτηση που φαίνεται στο σχήμα (f(x)) χρησιμοποιώντας είτε το πεδίο εισαγωγής, είτε κάνοντας διπλό κλικ πάνω στον τύπο της στη λίστα των ελεύθερων αντικειμένων.

Διαβάστε Περισσότερα!

Γ΄ Λυκείου: Παράγωγος

Η παράγωγος είναι από τις πιο βασικές έννοιες στα Μαθηματικά της Γ΄ Λυκείου. Τα παρακάτω αρχεία σε geogebra (τα οποία είδαμε και στην τάξη) περιγράφουν παραστατικά τον ορισμό και τις βασικές ιδιότητες.

1. Car moving - Κατασκευή της συνάρτησης μετατόπισης - χρόνου.
2. Car Moving2 - Ο ορισμός της στιγμίαιας ταχύτητας (παράγωγος)
3. Ορισμός της παραγώγου μιας συνάρτησης f σε ένα σημείο x_0. Μπορείτε να αλλάξετε την f και να δείτε τι συμβαίνει.
4. Παράγωγος Συνάρτηση. Παρατηρείστε ότι όταν η παράγωγος είναι θετική η συνάρτηση είναι γν. αύξουσα, ενώ όταν είναι αρνητική η συνάρτηση είναι γν. φθίνουσα.
5. Παράγωγος Συνάρτηση ΙΙ.

Διαβάστε Περισσότερα!